ここまでで記した確率分布の内で一変数のものは殆ど一般超幾何分布の特別な場合とみなせる。この分布の確率質量関数はいくつかあるそうだが、ここでは$A$を定数として \[ f(x)= A \frac{ \prod_{j=1}^{k} a_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{l} b_{j}^{\underline{x}} }{ \prod_{j=1}^{m} c_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{n} d_{j}^{\underline{x}} } \frac{u^{x}}{x!} \] と定義する。
定数$A$を求める。まず$k$個の成分からなるベクトルを$\overrightarrow{a}_{k}=(a_{1},\ldots,a_{k})^{\mathrm{T}}$と書くことにする。同じように$l,m,n$個の成分からなるベクトルを定義する。確率母関数は定義より \[ G(t) = E[t^{X}] = A \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ \prod_{j=1}^{k} a_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{l} b_{j}^{\underline{x}} }{ \prod_{j=1}^{m} c_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{n} d_{j}^{\underline{x}} } \frac{(tu)^{x}}{x!} \] と書ける。ここで一般超幾何関数 \[ F(\overrightarrow{p}_{v} \ /\ \overrightarrow{q}_{w}\ ;\ r) = \sum_{s=0}^{\infty} \frac{ \prod_{j=1}^{v} p_{j}^{ \overline{s} } }{ \prod_{j=1}^{w} q_{j}^{ \overline{s} } } \frac{ r^{s} }{ s! } \] について$v=k+l$として \[ \overrightarrow{p}_{v}=(a_{1},a_{2},\ldots,a_{k},-b_{1},-b_{2},\ldots,-b_{l})^{\mathrm{T}} \] であるとする。$\overrightarrow{q}_{w}$についても$\overrightarrow{c}_{m}$と$-\overrightarrow{d}_{n}$とからなるとして $\ r=(-1)^{l-n}tu$ を代入すると \[ F( \overrightarrow{a}_{k},-\overrightarrow{b}_{l}\ /\ \overrightarrow{c}_{m},-\overrightarrow{d}_{n} \ ;\ (-1)^{l-n} tu ) = \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ \prod_{j=1}^{k} a_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{l}(- b_{j})^{\overline{x}} }{ \prod_{j=1}^{m} c_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{n} (-d_{j})^{\overline{x}} } \frac{\left\{(-1)^{l-n} (tu)\right\}^{x}}{x!} \] となる。ここで \[ (-d_{j})^{\overline{x}} = (-d_{j})(-d_{j}+1)\cdots(-d_{j}+x-1) = (-1)^{x} d_{j}(d_{j}-1)\cdots(d_{j}-x+1) = (-1)^{x} d_{j}^{\underline{x}} \] と書け、同じように \[ (- b_{j})^{\overline{x}} = (-1)^{x} b_{j}^{\underline{x}} \] と書ける。そのため \begin{align} F( \overrightarrow{a}_{k},-\overrightarrow{b}_{l} \ /\ \overrightarrow{c}_{m},-\overrightarrow{d}_{n} \ ;\ (-1)^{l-n} tu ) &= \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ \prod_{j=1}^{k} a_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{l} (-1)^{x} b_{j}^{\underline{x}} }{ \prod_{j=1}^{m} c_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{n} (-1)^{x} d_{j}^{\underline{x}} } \frac{(tu)^{x}}{x!} (-1)^{(l-n)x} \notag\\ &= \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ \prod_{j=1}^{k} a_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{l} b_{j}^{\underline{x}} }{ \prod_{j=1}^{m} c_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{n} d_{j}^{\underline{x}} } \frac{(tu)^{x}}{x!} \notag \end{align} と書き換えられる。必要に応じて${}_{k,l}F_{m,n}$と書くことにする。確率母関数に代入すると \[ G(t) = E[t^{X}] = A F( \overrightarrow{a}_{k},-\overrightarrow{b}_{l}\ /\ \overrightarrow{c}_{m},-\overrightarrow{d}_{n} ;(-1)^{l-n} tu ) \] となる。確率母関数の引数が一のとき \[ G(1) = 1 = A F( \overrightarrow{a}_{k},-\overrightarrow{b}_{l} \ /\ \overrightarrow{c}_{m},-\overrightarrow{d}_{n} \ ;\ (-1)^{l-n}u ) \] となる。この式から \[ A= \frac{1}{ F( \overrightarrow{a}_{k},-\overrightarrow{b}_{l} \ /\ \overrightarrow{c}_{m},-\overrightarrow{d}_{n} \ ;\ (-1)^{l-n}u ) } \] とわかる。そのため確率母関数は \[ G(t) =E[t^{X}] = \frac{ F( \overrightarrow{a}_{k},-\overrightarrow{b}_{l} \ /\ \overrightarrow{c}_{m},-\overrightarrow{d}_{n} \ ;\ (-1)^{l-n}tu )} {F( \overrightarrow{a}_{k},-\overrightarrow{b}_{l} \ /\ \overrightarrow{c}_{m},-\overrightarrow{d}_{n} \ ;\ (-1)^{l-n}u )} \] である。求めた定数を用いて確率質量関数は \[ f(x) = A \frac{ \prod_{j=1}^{k} a_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{l} b_{j}^{\underline{x}} }{ \prod_{j=1}^{m} c_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{n} d_{j}^{\underline{x}} } \frac{u^{x}}{x!} = \left\{ \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ \prod_{j=1}^{k} a_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{l} b_{j}^{\underline{x}} }{ \prod_{j=1}^{m} c_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{n} d_{j}^{\underline{x}} } \frac{ u^{x} }{x!} \right\}^{-1} \frac{ \prod_{j=1}^{k} a_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{l} b_{j}^{\underline{x}} }{ \prod_{j=1}^{m} c_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{n} d_{j}^{\underline{x}} } \frac{u^{x}}{x!} \] と書ける。
確率母関数を$t$で微分する。$x'=x-1$とすると \begin{align} \frac{ \partial }{\partial t }G(t) &= E[X t^{X-1}] \notag\\ &= A \frac{ \partial }{\partial t } F( \overrightarrow{a}_{k},-\overrightarrow{b}_{l} \ /\ \overrightarrow{c}_{m},-\overrightarrow{d}_{n} \ ;\ (-1)^{l-n} tu )\notag\\ &= 0+ A \sum_{x=1}^{\infty} \frac{ \prod_{j=1}^{k} a_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{l} b_{j}^{\underline{x}} }{ \prod_{j=1}^{m} c_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{n} d_{j}^{\underline{x}} } \frac{xt^{x-1}u^{x} } {x!} \notag\\ &= A \sum_{x=1}^{\infty} \frac{ \prod_{j=1}^{k} a_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{l} b_{j}^{\underline{x}} }{ \prod_{j=1}^{m} c_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{n} d_{j}^{\underline{x}} } \frac{(tu)^{x-1} } {(x-1)!} u \notag\\ &= A \sum_{x'=0}^{\infty} \frac{ \prod_{j=1}^{k} a_{j}^{\overline{x'+1}} \prod_{j=1}^{l} b_{j}^{\underline{x'+1}} }{ \prod_{j=1}^{m} c_{j}^{\overline{x'+1}} \prod_{j=1}^{n} d_{j}^{\underline{x'+1}} } \frac{(tu)^{x'} } {x'!} u \notag \end{align} となる。この式の上昇階乗は \[ a_{j}^{\overline{x'+1}} =a_{j}(a_{j}+1)\cdots(a_{j}+x'-1)(a_{j}+x') =a_{j}(a_{j}+1)^{\overline{x'}} \] と書き換え、下降階乗は \[ b_{j}^{\underline{x'+1}} =b_{j}(b_{j}-1)\cdots(b_{j}-x'+1)(b_{j}-x') =b_{j}(b_{j}-1)^{\underline{x'}} \] と書き換える。この引数$x'$は$x$としても成り立つ。 \begin{align} \frac{ \partial }{\partial t }G(t) &= E[X t^{X-1}] \notag\\ &= \frac{ \prod_{j=1}^{k} a_{j} \prod_{j=1}^{l} b_{j} }{ \prod_{j=1}^{m} c_{j} \prod_{j=1}^{n} d_{j} } \left\{ \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ \prod_{j=1}^{k} a_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{l} b_{j}^{\underline{x}} }{ \prod_{j=1}^{m} c_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{n} d_{j}^{\underline{x}} } \frac{ u^{x} }{x!} \right\}^{-1} \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ \prod_{j=1}^{k} (a_{j}+1)^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{l} (b_{j}-1)^{\underline{x}} }{ \prod_{j=1}^{m} (c_{j}+1)^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{n} (d_{j}-1)^{\underline{x}} } \frac{(tu)^{x} } {x!} u \notag\\ &= \frac{ \prod_{j=1}^{k} a_{j} \prod_{j=1}^{l} b_{j} }{ \prod_{j=1}^{m} c_{j} \prod_{j=1}^{n} d_{j} } \frac{F( \overrightarrow{a}_{k}+\overrightarrow{1}_{k}, -(\overrightarrow{b}_{l}-\overrightarrow{1}_{l}) \ /\ \overrightarrow{c}_{m}+\overrightarrow{1}_{m}, -(\overrightarrow{d}_{n}-\overrightarrow{1}_{n}) \ ;\ (-1)^{l-n}tu )} {F(\overrightarrow{a}_{k},-\overrightarrow{b}_{l} \ /\ \overrightarrow{c}_{m},-\overrightarrow{d}_{n} \ ;\ (-1)^{l-n}u )} u. \notag \end{align} $t=1$のとき \begin{align} \left. \frac{ \partial }{\partial t }G(t) \right|_{t=1} &= E[X ] \notag\\ &= \frac{ \prod_{j=1}^{k} a_{j} \prod_{j=1}^{l} b_{j} }{ \prod_{j=1}^{m} c_{j} \prod_{j=1}^{n} d_{j} } \left\{ \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ \prod_{j=1}^{k} a_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{l} b_{j}^{\underline{x}} }{ \prod_{j=1}^{m} c_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{n} d_{j}^{\underline{x}} } \frac{ u^{x} }{x!} \right\}^{-1} \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ \prod_{j=1}^{k} (a_{j}+1)^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{l} (b_{j}-1)^{\underline{x}} }{ \prod_{j=1}^{m} (c_{j}+1)^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{n} (d_{j}-1)^{\underline{x}} } \frac{ u^{x} } {x!} u \notag\\ &= \frac{ \prod_{j=1}^{k} a_{j} \prod_{j=1}^{l} b_{j} }{ \prod_{j=1}^{m} c_{j} \prod_{j=1}^{n} d_{j} } \frac{F( \overrightarrow{a}_{k}+\overrightarrow{1}_{k}, -(\overrightarrow{b}_{l}-\overrightarrow{1}_{l}) \ /\ \overrightarrow{c}_{m}+\overrightarrow{1}_{m}, -(\overrightarrow{d}_{n}-\overrightarrow{1}_{n}) \ ;\ (-1)^{l-n} u )} {F( \overrightarrow{a}_{k},-\overrightarrow{b}_{l} \ /\ \overrightarrow{c}_{m},-\overrightarrow{d}_{n} \ ;\ (-1)^{l-n}u )} u. \end{align} となる。
これは一般化でき$h$階微分は \begin{align} \left. \frac{\partial^{h}}{\partial t^{h}}G(t) \right|_{t=1} &= E[X^{\underline{h}} ] \notag\\ &= \frac{ \prod_{j=1}^{k} a_{j}^{\overline{h}} \prod_{j=1}^{l} b_{j}^{\underline{h}} }{ \prod_{j=1}^{m} c_{j}^{\overline{h}} \prod_{j=1}^{n} d_{j}^{\underline{h}} } \left\{ \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ \prod_{j=1}^{k} a_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{l} b_{j}^{\underline{x}} }{ \prod_{j=1}^{m} c_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{n} d_{j}^{\underline{x}} } \frac{ u^{x} }{x!} \right\}^{-1} \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ \prod_{j=1}^{k} (a_{j}+h)^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{l} (b_{j}-h)^{\underline{x}} }{ \prod_{j=1}^{m} (c_{j}+h)^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{n} (d_{j}-h)^{\underline{x}} } \frac{u^{x}}{x!}u^{h} \notag\\ &= \frac{ \prod_{j=1}^{k} a_{j}^{\overline{h}} \prod_{j=1}^{l} b_{j}^{\underline{h}} }{ \prod_{j=1}^{m} c_{j}^{\overline{h}} \prod_{j=1}^{n} d_{j}^{\underline{h}} } \frac{F( \overrightarrow{a}_{k}+h\overrightarrow{1}_{k}, -(\overrightarrow{b}_{l}-h\overrightarrow{1}_{l}) \ /\ \overrightarrow{c}_{m}+h\overrightarrow{1}_{m}, -(\overrightarrow{d}_{n}-h\overrightarrow{1}_{n}) \ ;\ (-1)^{l-n} u )} {F( \overrightarrow{a}_{k},-\overrightarrow{b}_{l} \ /\ \overrightarrow{c}_{m},-\overrightarrow{d}_{n} \ ;\ (-1)^{l-n}u )} u^{h} \notag \end{align} である。
ポアソン分布
$(k,l,m,n)=(0,0,0,0)$のとき \[ f(x) = A \frac{ \prod_{j=1}^{k} a_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{l} b_{j}^{\underline{x}} }{ \prod_{j=1}^{m} c_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{n} d_{j}^{\underline{x}} } \frac{u^{x}}{x!} = A \frac{u^{x}}{x!} \] となる。$u=\mu$とすると定数$A$の逆数は \[ \frac{1}{A} = {}_{0,0}F_{0,0}(\ ;\ (-1)^{0-0} \mu) = \sum_{x=0}^{\infty} \frac{\mu^{x}}{x!} = \exp(\mu) \] となるためポアソン分布 \[ \mathrm{Po}(x|\mu) = \frac{\mu^{x}}{x!} \exp(-\mu) \] となる。
確率母関数は \begin{align} G(t) &=\mathrm{E}[t^{X}] \notag\\ &=\frac{ {}_{0,0}F_{0,0}(\ ;\ (-1)^{0-0} t \mu) }{ {}_{0,0}F_{0,0}(\ ;\ (-1)^{0-0} \mu) } \notag\\ &=\frac{ \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ (t \mu)^{x} }{x!} }{ \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ \mu^{x} }{x!} } \notag\\ &= \frac{ \exp \left(t\mu \right) }{ \exp \left(\mu\right) } \notag\\ &= \exp \left(t\mu -\mu\right) \notag \end{align} である。
期待値を求める。上の確率母関数を微分しても得られるが、ここではすでに得た$G(1)$に代入する形で求める。$(k,l,m,n)=(0,0,0,0)$のときの結果$u=\mu,\ A=\exp(-\mu)$を代入すると微分は \begin{align} \left. \frac{ \partial }{\partial t }G(t) \right|_{t=1} &= E[X] \notag\\ &= \exp(-\mu) \sum_{x=0}^{\infty} \frac{\mu^{x} } {x!} \mu \notag\\ &= \exp(-\mu)\exp(\mu)\mu \notag\\ &= \mu \notag \end{align} となる。$h$階微分は \begin{align} \left. \frac{ \partial^{h}}{\partial t^{h}}G(t) \right|_{t=1} &= E[X^{\underline{h}} ] \notag\\ &= \exp(-\mu) \exp(\mu) \mu^{h} \notag\\ &= \mu^{h} \notag \end{align} となる。
負の二項分布
$(k,l,m,n)=(1,0,0,0)$のとき \[ f(x) = A \frac{ \prod_{j=1}^{1} a_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{0} b_{j}^{\underline{x}} }{ \prod_{j=1}^{0} c_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{0} d_{j}^{\underline{x}} } \frac{u^{x}}{x!} = Aa_{1}^{\overline{x}} \frac{u^{x}}{x!} = A \frac{a_{1}(a_{1}+1)\cdots(a_{1}+x-1)}{x!} u^{x} = A \binom{a_{1}+x-1}{x} u^{x} \] となる。$a_{1}=s,\ u = q$とすると定数$A$の逆数は負の二項定理より \[ \frac{1}{A} = {}_{1,0}F_{0,0}(s ;(-1)^{0-0} q) = \sum_{x=0}^{\infty} \binom{x+s-1}{ x } q^{x} = \left(1-q\right)^{-s} = p^{-s} \] となる。定数$A$を代入すると負の二項分布 \[ \mathrm{NBin}(x|p,s)=\binom{x+s-1}{x} p^{s}q^{x} \] となる。また$s=1$とすると幾何分布 \[ \mathrm{G}(x|p)= p^{1}q^{x} \] となる。
確率母関数は \begin{align} G(t) &=\mathrm{E}[t^{X}] \notag\\ &=\frac{ {}_{1,0}F_{0,0}(s ;(-1)^{0-0} t q) }{ {}_{1,0}F_{0,0}(s ;(-1)^{0-0} q) } \notag\\ &=\frac{ \sum_{x=0}^{\infty} s^{\overline{x}} \frac{ \left(t q \right)^{x} }{x!} }{ \sum_{x=0}^{\infty} s^{\overline{x}} \frac{ q ^{x} }{x!} } \notag\\ &=\frac{ \sum_{x=0}^{\infty} (s+x-1)^{\underline{x}} \frac{ \left(t q \right)^{x} }{x!} }{ \sum_{x=0}^{\infty} (s+x-1)^{\underline{x}} \frac{ q ^{x} }{x!} } \notag\\ &= \frac{ \left(1-t q \right)^{-s} }{ \left(1-q \right)^{-s} } \notag\\ &= \left( \frac{p}{1-qt} \right)^{s} \notag \end{align} である。
$(k,l,m,n)=(1,0,0,0)$のときの結果$a_{1}=s,\ u = q,\ A=p^{s}$を代入すると \begin{align} \left. \frac{ \partial }{\partial t }G(t) \right|_{t=1} &= E[X] \notag\\ &= s p^{s} \sum_{x=0}^{\infty} (s+1)^{\overline{ x }} \frac{ q^{x}}{x!} q \notag\\ &= s p^{s} \sum_{x=0}^{\infty} (s+x)^{\underline{ x }} \frac{ q^{ x }}{x!} q \notag\\ &= s p^{s} \sum_{x=0}^{\infty} \binom{s+1+x-1}{x} q^{x} q \notag\\ &= sp^{s} \Big(1-q\Big)^{-(s+1)} q \notag\\ &= s\frac{q}{p} \notag \end{align} となる。
$h$だけずらした超幾何関数 \[ {}_{1,0}F_{0,0}(a_{1}+h\ /\ (-1)^{0-0} u) = \sum_{x=0}^{\infty} (a_{1}+h)^{\overline{x}} \frac{u^{x} }{x!} = \sum_{x=0}^{\infty} \binom{a_{1}+h+x-1}{x} u^{x} = (1-u)^{-(a_{1}+h)} \] となるため$h$階微分は \begin{align} \left. \frac{ \partial^{h}}{\partial t^{h}}G(t) \right|_{t=1} &= E[X^{\underline{h}} ] \notag\\ &= a_{1}^{\overline{h}} \frac{ {}_{1,0}F_{0,0}(a_{1}+h\ /\ (-1)^{0-0} u) }{ {}_{1,0}F_{0,0}(a_{1}\ /\ (-1)^{0-0} u) }u^{h} \notag\\ &= a_{1}^{\overline{h}} \frac{ (1-u)^{-(a_{1}+h)} }{ (1-u)^{-(a_{1})} }u^{h} \notag\\ &= a_{1}^{\overline{h}} \left( \frac{u}{1-u} \right)^{h} \notag \end{align} となる。$a_{1}=s,\ u=q$を代入すると \begin{align} \left. \frac{ \partial^{h}}{\partial t^{h}}G(t) \right|_{t=1} &= E[X^{\underline{h}} ] \notag\\ &= s^{\overline{h}} \left( \frac{q}{1-q} \right)^{h} \notag\\ &= s^{\overline{h}} \left( \frac{q}{p} \right)^{h} \notag \end{align} となる。
二項分布
} $(k,l,m,n)=(0,1,0,0)$のとき \[ f(x) = A \frac{ \prod_{j=1}^{0} a_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{1} b_{j}^{\underline{x}} }{ \prod_{j=1}^{0} c_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{0} d_{j}^{\underline{x}} } \frac{u^{x}}{x!} =Ab_{1}^{\underline{x}} \frac{u^{x}}{x!} =A \binom{b_{1}}{x} u^{x} \] となる。$b_{1}=n,\ u = p/q$とすると定数$A$の逆数は二項定理より \[ \frac{1}{A} = {}_{0,1}F_{0,0} \left(-n\ ;\ \frac{p}{q} \right) = \sum_{x=0}^{\infty} \binom{n}{x} \left(\frac{p}{q}\right)^{x} = \left(1+\frac{p}{q}\right)^{n} = q^{-n} \] となる。定数$A$を代入すると二項分布 \[ \mathrm{Bin}(x|p,n)=\binom{n}{x} p^{x}q^{n-x} \] となる。また$n=1$とするとベルヌーイ分布 \[ \mathrm{Ber}(x|p)= p^{x}q^{1-x} \] となる。
確率母関数は \begin{align} G(t) &=\mathrm{E}[t^{X}] \notag\\ &= \frac{ {}_{0,1}F_{0,0}(-n\ ;\ t p/q) }{ {}_{0,1}F_{0,0}(-n\ ;\ p/q) } \notag\\ &=\frac{ \sum_{x=0}^{\infty} n^{\underline{x}} \frac{ \left(t \frac{p}{q} \right)^{x} }{x!} }{ \sum_{x=0}^{\infty} n^{\underline{x}} \frac{ \left( \frac{p}{q} \right)^{x} }{x!} } \notag\\ &= \frac{ \left(1+t \frac{p}{q} \right)^{n} }{ \left(1+\frac{p}{q} \right)^{n} } \notag\\ &= \left(q+tp\right)^{n} \notag \end{align} である。
$(k,l,m,n)=(0,1,0,0)$のときの結果$b_{1}=n,\ u = p/q,\ A=q^{n}$を代入すると \begin{align} \left. \frac{ \partial }{\partial t }G(t) \right|_{t=1} &= E[X] \notag\\ &= n q^{n} \sum_{x=0}^{\infty} (n-1)^{\underline{x}} \frac{\left(\frac{p}{q}\right)^{x}}{x!} \left(\frac{p}{q}\right) \notag\\ &= n q^{n} \sum_{x=0}^{\infty} \binom{n-1}{x} \left(\frac{p}{q}\right)^{x} \left(\frac{p}{q}\right) \notag\\ &= n q^{n} \left(1+\frac{p}{q}\right)^{n-1} \left(\frac{p}{q}\right) \notag\\ &= n q^{n} \frac{1^{n-1}}{q^{n-1}} \frac{p}{q} \notag\\ &= np \notag \end{align} となる。
$h$だけずらした超幾何関数は \[ {}_{0,1}F_{0,0}(-(b_{1}-h)\ /\ (-1)^{1-0} u) = \sum_{x=0}^{\infty} (b_{1}-h)^{\underline{x}} \frac{u^{x} }{x!} = \sum_{x=0}^{\infty} \binom{b_{1}-h}{x} u^{x} = (1+u)^{ b_{1}-h} \] となるため$h$階微分は \begin{align} \frac{ \partial^{h}}{\partial t^{h}}G(t) &= E[X^{\underline{h}} ] \notag\\ &= b_{1}^{\underline{h}} \frac{ {}_{0,1}F_{0,0}(-(b_{1}-h)\ /\ (-1)^{1-0} u) }{ {}_{0,1}F_{0,0}(-b_{1}\ /\ (-1)^{1-0} u) } u^{h} \notag\\ &= b_{1}^{\underline{h}} \frac{ (1+u)^{ b_{1}-h} }{ (1+u)^{ b_{1}} } u^{h} \notag\\ &= b_{1}^{\underline{h}} \left(\frac{u}{1+u}\right)^{h} \notag \end{align} となる。$b_{1}=n,\ u=p/q$を代入すると \begin{align} \frac{ \partial^{h}}{\partial t^{h}}G(t) &= E[X^{\underline{h}} ] \notag\\ &= n^{\underline{h}} \left(\frac{p/q}{1+p/q}\right)^{h} \notag\\ &= n^{\underline{h}} p^{h} \notag \end{align} となる。
離散円筒（ベッセル）分布
$(k,l,m,n)=(0,0,1,0)$のとき \[ f(x) = A \frac{ \prod_{j=1}^{0} a_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{0} b_{j}^{\underline{x}} }{ \prod_{j=1}^{1} c_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{0} d_{j}^{\underline{x}} } \frac{u^{x}}{x!} =A \frac{1}{ c_{1}^{\overline{x}} } \frac{u^{x}}{x!} \] となる。ここで$c_{1}=\nu +1,\ u = \frac{ z^{2} }{4} $とすると $c_{1}^{\overline{x}}=(\nu+1)^{\overline{x}}=(\nu +1)(\nu +2)\cdots(\nu +x) \frac{\nu !}{\nu !} =\frac{(\nu +x)!}{\nu !}$となる。$\nu>0$の実数とすると$c_{1}^{\overline{x}}=(\nu+1)^{\overline{x}}= \Gamma(\nu+x+1)/\Gamma(\nu+1)$と書ける 定数$A$の逆数は \begin{align} \frac{1}{A} &= {}_{0,0} F_{1,0}\left(\nu+1\ ;\ \frac{z^{2}}{4} \right) \notag\\ &= \sum_{x=0}^{\infty} \frac{1}{(\nu +1)^{\overline{ x } } x!} \left( \frac{ z^{2} }{4} \right)^{x} \notag\\ &= \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ \Gamma(\nu+1) }{ \Gamma(\nu+x+1) x!} \left( \frac{z}{2} \right)^{2x} \frac{ \left( \frac{z}{2} \right)^{\nu } }{ \left( \frac{z}{2} \right)^{\nu } } \notag\\ &= \frac{ \Gamma(\nu+1) } { \left( \frac{z}{2} \right)^{\nu } } \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ 1 } { \Gamma(\nu+x+1) x! } \left( \frac{z}{2} \right)^{2x+\nu } \notag\\ &= \frac{ \Gamma(\nu+1) } { \left( \frac{z}{2} \right)^{\nu } } I_{\nu}(z) \notag \end{align} と書ける。最後の$I_{\nu}(z)$は第一種円筒（ベッセル、円柱）関数$J_{\nu}(z)=\sum_{x=0}^{\infty} \frac{ (-1)^{x} }{ \Gamma(\nu+x+1) x! } \left( \frac{z}{2} \right)^{2x+\nu }$から得られる。$ \left( \mathrm{i} z/2 \right)^{2x+\nu }=(-1)^{x+\nu/2} \left( z/2 \right)^{2x+\nu }$であるため \begin{align} \mathrm{i}^{-\nu}J_{\nu}(\mathrm{i} z) &= \mathrm{i}^{-\nu} \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ (-1)^{x} } { \Gamma(\nu+x+1) x! } \left( \mathrm{i}\frac{z}{2} \right)^{2x+\nu } \notag\\ &= \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ (-1)^{-\frac{\nu}{2}+x+x+\frac{\nu}{2} } } { \Gamma(\nu+x+1) x! } \left( \frac{z}{2} \right)^{2x+\nu } \notag\\ &= I_{\nu}(z) \notag \end{align} となる。但し通常の第一種円筒関数の変数は非負の実数であるため区別のため離散円筒（ベッセル）関数と呼ぶことにする。定数$A$は離散円筒関数からなるためこの確率分布を離散円筒（ベッセル）分布を名づける。定数$A$を代入すると \[ \mathrm{Bes}(x | \nu,z) = \left( \frac{z}{2} \right)^{\nu } \frac{1}{\nu ! I_{\nu}(z)} \frac{1}{ (\nu+1)^{\overline{x}} } \frac{1}{x!} \left( \frac{ z^{2} }{4} \right)^{x} = \frac{1}{ I_{\nu}(z) } \frac{ 1 }{ \Gamma(\nu+x+1) x! }\left( \frac{z}{2} \right)^{2x+\nu } \] となる。超幾何関数に$t z^{2}/4$を代入すると \begin{align} {}_{0,0} F_{1,0}\left(\nu+1\ ;\ \frac{tz^{2}}{4} \right) &= \sum_{x=0}^{\infty} \frac{1}{(\nu +1)^{\overline{ x } } x!} \left( \frac{ t z^{2} }{4} \right)^{x} \notag\\ &= \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ t^{x} } { \Gamma(\nu+x+1) x! } \left( \frac{ z}{2} \right)^{2x } \notag \end{align} となり、上記の$t^{x}$を$\sqrt{t}^{2x+\nu-\nu}$とすると \begin{align} \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ t^{x} } { \Gamma(\nu+x+1) x! } \left( \frac{ z}{2} \right)^{2x } &= \frac{ \nu ! } { \left( \frac{z}{2} \right)^{\nu } } \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ \sqrt{t}^{2x+\nu-\nu} } { \Gamma(\nu+x+1) x! } \left( \frac{ z}{2} \right)^{2x + \nu } \notag\\ &= \frac{ \nu ! } { \left( \frac{ z}{2} \right)^{\nu } } \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ 1 } { \Gamma(\nu+x+1) x! } \left( \frac{\sqrt{t} z}{2} \right)^{2x+\nu } \sqrt{t}^{-\nu} \notag\\ &= t^{-\frac{\nu}{2} } \frac{ \nu ! } { \left( \frac{z}{2} \right)^{\nu } } I_{\nu}(\sqrt{t} z) \notag \end{align} となる。そのため確率母関数は \begin{align} G(t) &= \mathrm{E}[t^{X}] \notag\\ &= \frac{ 1 }{ I_{\nu}(z) } \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ t^{x} }{ \Gamma(\nu+x+1) x! }\left( \frac{z}{2} \right)^{2x } \notag\\ &= \frac { {}_{0,0} F_{1,0}\left(\nu+1\ ;\ \frac{tz^{2}}{4} \right) } { {}_{0,0} F_{1,0}\left(\nu+1\ ;\ \frac{z^{2}}{4} \right) } \notag\\ &= t^{-\frac{\nu}{2} } \frac{ I_{\nu}(\sqrt{t} z) }{ I_{\nu}(z) } \notag \end{align} である。
$(k,l,m,n)=(0,0,1,0)$のときの結果$c_{1}=\nu+1,\ u=z^{2}/4$のとき超幾何関数は \begin{align} {}_{0,0}F_{1,0}(\nu+2\ ;\ (-1)^{0-0} z^{2}/4) &= \sum_{x=0}^{\infty} \frac{1}{(\nu+2)^{\overline{x}} x!} \left(\frac{z}{2} \right)^{2x} \notag\\ &= \frac{(\nu+1)! }{ \left(\frac{z}{2} \right)^{\nu+1} } \sum_{x=0}^{\infty} \frac{1}{ \Gamma(\nu+x+2) x!} \left(\frac{z}{2} \right)^{2x+\nu+1} \notag\\ &= \frac{ \Gamma(\nu+2) }{ \left(\frac{z}{2} \right)^{\nu+1} } I_{\nu+1}(z) \notag \end{align} となるため、確率母関数に代入すると \begin{align} \left. \frac{ \partial }{\partial t }G(t) \right|_{t=1} &= E[X] \notag\\ &= \frac{1}{\nu+1} \frac{ {}_{0,0}F_{1,0}(\nu+2\ ;\ (-1)^{0-0} z^{2}/4) }{ {}_{0,0}F_{1,0}(\nu+1\ ;\ (-1)^{0-0} z^{2}/4) } \frac{z^{2}}{4} \notag\\ &= \frac{1}{\nu+1} \frac{ \left(\frac{z}{2} \right)^{\nu} }{ \nu! I_{\nu}(z) } \frac{(\nu+1)! }{ \left(\frac{z}{2} \right)^{\nu+1} } I_{\nu+1}(z) \left(\frac{z}{2} \right)^{2} \notag\\ &= \frac{z}{2} \frac{I_{\nu+1}(z) }{I_{\nu}(z)} \notag \end{align} となる。
$h$階微分を求める。 \begin{align} \left. \frac{ \partial^{h} }{\partial t^{h} }G(t) \right|_{t=1} &= E[X^{\underline{h}} ] \notag\\ &= \frac{1}{ (\nu+1)^{\overline{h}} } \frac{ {}_{0,0}F_{1,0}(\nu+1+h\ ;\ (-1)^{0-0} z^{2}/4) }{ {}_{0,0}F_{1,0}(\nu+1\ ;\ (-1)^{0-0} z^{2}/4) } \left(\frac{z^{2}}{4}\right)^{h} \notag\\ &= \frac{1}{(\nu+h)(\nu+h-1)\cdots(\nu+1)} \frac{ \left(\frac{z}{2} \right)^{\nu} }{ \nu! I_{\nu}(z) } \frac{(\nu+h)! }{ \left(\frac{z}{2} \right)^{\nu+h} } I_{\nu+h}(z) \left(\frac{z}{2} \right)^{2h} \notag\\ &= \left(\frac{z}{2} \right)^{h} \frac{I_{\nu+h}(z) }{I_{\nu}(z)} \notag \end{align} となる。
$(k,l,m,n)=(0,0,0,1)$のとき \[ f(x) = A \frac{ \prod_{j=1}^{0} a_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{0} b_{j}^{\underline{x}} }{ \prod_{j=1}^{0} c_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{1} d_{j}^{\underline{x}} } \frac{u^{x}}{x!} =A \frac{1}{ d_{1}^{\underline{x}} } \frac{u^{x}}{x!} \] となる。$d_{1}$を \begin{align} d_{1}^{\underline{x}} &=d_{1}(d_{1}-1)\cdots(d_{1}-x+1) \notag\\ &=(-1)^{x}(-d_{1})(-d_{1}+1)\cdots(-d_{1}+x-1) \notag\\ &=(-1)^{x}(-d_{1})^{\overline{x}} \notag \end{align} と書き換え$d_{1}=-(\nu+1)$とすると \[ d_{1}^{\underline{x}} =(-1)^{x} (\nu+1)^{\overline{x}} =(-1)^{x} \frac{(\nu+x)!}{\nu!} \] を得る。$u=z^{2}/4$とすると \begin{align} \frac{1}{A} &= {}_{0,0} F_{0,1}\left(-(\nu+1)\ ;\ \frac{z^{2}}{4} \right) \notag\\ &= \sum_{x=0}^{\infty} \frac{1}{(-1)^{x} (\nu +1)^{\overline{ x } } x!} \left( \frac{ z^{2} }{4} \right)^{x} \notag\\ &= \frac{ \nu ! } { \left( \frac{z}{2} \right)^{\nu } } \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ (-1)^{x} } { (\nu +x)! x! } \left( \frac{z}{2} \right)^{2x+\nu } \notag\\ &= \frac{ \nu ! } { \left( \frac{z}{2} \right)^{\nu } } J_{\nu}(z) \notag \end{align} となる。定数$A$を代入すると上記の離散円筒（ベッセル）分布とよく似た確率質量関数 \[ \mathrm{Bes'}(x | \nu,z) = \left( \frac{z}{2} \right)^{\nu } \frac{1}{\nu ! J_{\nu}(z)} \frac{1}{ (-1)^{x} (\nu+1)^{\overline{x}} } \frac{1}{x!} \left( \frac{ z^{2} }{4} \right)^{x} = \frac{1}{ J_{\nu}(z) } \frac{ (-1)^{x} }{(\nu+x)! x! }\left( \frac{z}{2} \right)^{2x+\nu } \] が現れる。しかし執筆者の知る限り修正第一種ベッセル関数$I$を使う確率分布はあっても第一種ベッセル関数$J$を使う確率分布はない。
超幾何分布
$(k,l,m,n)=(0,2,1,0),\ u=1$のとき \[ f(x) = A \frac{ \prod_{j=1}^{0} a_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{2} b_{j}^{\underline{x}} }{ \prod_{j=1}^{1} c_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{0} d_{j}^{\underline{x}} } \frac{1^{x}}{x!} = A\frac{ b_{1}^{\underline{x}} b_{2}^{\underline{x}} }{ c_{1}^{\overline{x}} } \frac{1}{x!} \] となる。定数$A$を求めるために超幾何分布の確率質量関数$\mathrm{HG}(x|S,N,n) = \binom{S}{x} \binom{N-S}{n-x} / \binom{N}{n} $を \begin{align} \frac{ \binom{S}{x} \binom{N-S}{n-x} }{ \binom{N}{n} } = \frac{(N-S)!}{\frac{N!(N-S-n)!}{(N-n)!}} \frac{\frac{S!}{(S-x)!x!} \frac{n!}{(n-x)!} }{ \frac{(N-S-n+x)!}{(N-S-n)!} } = \frac{(N-S)!(N-n)!}{(N-S-n)!N!} \frac{ S^{\underline{x}} n^{\underline{x}} }{ (N-S-n+x)^{\underline{x}} } \frac{1}{x!} \notag \end{align} と書き換える。この式より \begin{align} \frac{ S^{\underline{x}} n^{\underline{x}} }{ (N-S-n+x)^{\underline{x}} } \frac{1}{x!} = \left\{ \frac{(N-S)!(N-n)!} {(N-S-n)!N!} \right\}^{-1} \frac{ \binom{S}{x} \binom{N-S}{n-x} }{ \binom{N}{n} } \notag \end{align} である。この式について総和を取るとヴァンデルモンドの式より \[ \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ S^{\underline{x}} n^{\underline{x}} }{ (N-S-n+x)^{\underline{x}} } \frac{1}{x!} = \left\{ \frac{(N-S)!(N-n)!}{(N-S-n)!N!} \right\}^{-1} \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ \binom{S}{x} \binom{N-S}{n-x} }{ \binom{N}{n} } = \frac {(N-S-n)!N!} {(N-S)!(N-n)!} \] となる。また$c_{1}^{\overline{x}}$の$c_{1}$に$N-S-n+1$を代入すると \begin{align} c_{1}^{\overline{x}} &= (N-S-n+1)^{\overline{x}} \notag\\ &= (N-S-n+1)(N-S-n+2)\cdots(N-S-n+1+x-1) \notag\\ &= (N-S-n+x)^{\underline{x}} \notag \end{align} となる。ここまでの計算結果から一般超幾何関数に$b_{1}=S,\ b_{2}=n,\ c_{1}=N-S-n+1$を代入すると \[ \frac{1}{A} = F(-S,-n\ /\ N-S-n+1;1) = \sum_{x=0}^{\infty} \frac { S^{\underline{x}} n^{\underline{x}} } { (N-S-n+x)^{\underline{x}} } \frac{1}{x!} = \frac{(N-S-n)!N!}{(N-S)!(N-n)!} \] と書ける。$b_{1},\ b_{2},\ c_{1}$に戻すと \begin{align} F(-b_{1},-b_{2}\ /\ c_{1}\ ;\ 1) = \sum_{x=0}^{\infty} \frac { b_{1}^{\underline{x}} b_{2}^{\underline{x}} } { c_{1} ^{\overline{x}} } \frac{1}{x!} = \frac{(c_{1}-1)!(c_{1}+b_{1}+b_{2}-1)!}{(c_{1}+b_{1}-1)!(c_{1}+b_{2}-1)!} \end{align} という公式を得る。代入すると超幾何分布は \[ f(x) = \frac{(N-S)!(N-n)!}{(N-S-n)!N!} \frac{ S^{\underline{x}} n^{\underline{x}} } {(N-S-n+x)^{\underline{x}}} \frac{1}{x!} \] となる。またこの結果から \[ \mathrm{HG}(x|N,S,n) = \frac{\binom{N-n}{S}}{\binom{N}{S}} \frac{\binom{S}{x} \binom{n}{x} } {\binom{N-S-n+x}{x}} \] とも \[ \mathrm{HG}(x|N,S,n) = \frac{\binom{N-S}{n}}{\binom{N}{n}} \frac{\binom{S}{x} \binom{n}{x} } {\binom{N-S-n+x}{x}} \] とも書ける。これは$S$と$n$との対称性を示している。対称性については現代数理統計学に記載がある。
確率母関数は \begin{align} G(t) &=E[t^{X}] \notag\\ &=\sum_{x=0}^{\infty} t^{x} f(x) \notag\\ &=\frac{ {}_{0,2}F_{1,0}(-n,-S\ /\ N-S-n+1 \ ;\ t) }{ {}_{0,2}F_{1,0}(-n,-S\ /\ N-S-n+1 \ ;\ 1) } \notag\\ &= \frac {(N-S)!(N-n)!}{(N-S-n)!N!} \sum_{x=0}^{\infty} \frac { S^{\underline{x}} n^{\underline{x}} } { (N-S-n+x)^{\underline{x}} } \frac{ t^{x} }{x!} \notag\\ &= \frac{\binom{N-S}{n}}{\binom{N}{n}} \sum_{x=0}^{\infty} \frac{\binom{S}{x} \binom{n}{x} } {\binom{N-S-n+x}{x}} t^{x} \notag\\ &= \frac{\binom{N-n}{S}}{\binom{N}{S}} \sum_{x=0}^{\infty} \frac{\binom{S}{x} \binom{n}{x} } {\binom{N-S-n+x}{x}} t^{x} \notag \end{align} である。
$(k,l,m,n)=(0,2,1,0),\ u=1$のときの結果$\overrightarrow{b}_{2}=(b_{1},b_{2})^{\mathrm{T}}=(S,n)^{\mathrm{T}},\ \overrightarrow{c}_{1}=(c_{1})^{\mathrm{T}}=(N-S-n+1)^{\mathrm{T}} $を代入すると \begin{align} \left. \frac{ \partial }{\partial t }G(t) \right|_{t=1} &= E[X] \notag\\ &= \frac{b_{1}b_{2}}{c_{1}} \frac{F( -(\overrightarrow{b}_{2}-\overrightarrow{1}_{2})\ /\ \overrightarrow{c}_{1}+\overrightarrow{1}_{1};(-1)^{2-0} 1)} {F(-\overrightarrow{b}_{2}\ /\ \overrightarrow{c}_{1} ;(-1)^{2-0}1)}1 \notag\\ &= \frac{Sn}{N-S-n+1} A \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ (S-1)^{\underline{x}} (n-1)^{\underline{x}} }{ (N-S-n+1+1)^{\overline{x}} } \frac{1^{x}}{x!} \notag \end{align} となる。確率質量関数の計算過程で得た公式$F(-b_{1},-b_{2}\ /\ c_{1}\ ;\ 1)=\sum_{x=0}^{\infty}\frac{ b_{1}^{\underline{x}} b_{2}^{\underline{x}} }{ c_{1} ^{\overline{x}} } \frac{1}{x!}=\frac{(c_{1}-1)!(c_{1}+b_{1}+b_{2}-1)!}{(c_{1}+b_{1}-1)!(c_{1}+b_{2}-1)!}$の係数を一つづつずらすと \begin{align} F(-(b_{1}-1),-(b_{2}-1)\ /\ c_{1}+1\ ;\ 1) = \sum_{x=0}^{\infty} \frac { (b_{1}-1)^{\underline{x}} (b_{2}-1)^{\underline{x}} } { (c_{1}+1) ^{\overline{x}} } \frac{1}{x!} = \frac{ c_{1}!(c_{1}+b_{1}+b_{2}-2)!}{(c_{1}+b_{1}-1)!(c_{1}+b_{2}-1)!} \notag \end{align} となる。$\overrightarrow{b}_{2}=(b_{1},b_{2})^{\mathrm{T}}=(S,n)^{\mathrm{T}},\ \overrightarrow{c}_{1}=(c_{1})^{\mathrm{T}}=(N-S-n+1)^{\mathrm{T}} $を代入すると \begin{align} F(-(S-1),-(n-1)\ /\ N-S-n+2;1) = \sum_{x=0}^{\infty} \frac { (S-1)^{\underline{x}} (n-1)^{\underline{x}} } { (N-S-n+2)^{\overline{x}} } \frac{1}{x!} = \frac{(N-S-n+1)!(N-1)!}{(N-n-1)!(N-S-1)!} \notag \end{align} となる。そのため \[ A \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ (S-1)^{\underline{x}} (n-1)^{\underline{x}} }{ (N-S-n+2)^{\overline{x}} } \frac{1^{x}}{x!} = \left\{ \frac{(N-S-n)!N!} {(N-S)!(N-n)!} \right\}^{-1} \frac{(N-S-n+1)!(N-1)!}{(N-S)!(N-n)!} = \frac{N-S-n+1}{N} \] である。故に \begin{align} \left. \frac{ \partial }{\partial t }G(t) \right|_{t=1} &= E[X] \notag\\ &= \frac{Sn}{N-S-n+1} \frac{N-S-n+1}{N} \notag\\ &= n\frac{S}{N} \notag \end{align} となる。
$h$階微分を求める。公式$F(-b_{1},-b_{2}\ /\ c_{1}\ ;\ 1)=\sum_{x=0}^{\infty}\frac{ b_{1}^{\underline{x}} b_{2}^{\underline{x}} }{ c_{1} ^{\overline{x}} } \frac{1}{x!}=\frac{(c_{1}-1)!(c_{1}+b_{1}+b_{2}-1)!}{(c_{1}+b_{1}-1)!(c_{1}+b_{2}-1)!}$式の係数を$h$づつずらすと \begin{align} F(-( \overrightarrow{b}_{2}-h\overrightarrow{1}_{2}) \ /\ (\overrightarrow{c}_{1}+h\overrightarrow{1}_{1}\ ;\ 1) = \sum_{x=0}^{\infty} \frac { (b_{1}-h)^{\underline{x}} (b_{2}-h)^{\underline{x}} } { (c_{1}+h) ^{\overline{x}} } \frac{1}{x!} = \frac{ (c_{1}-1+h)!(c_{1}+b_{1}+b_{2}-1-h)!}{(c_{1}+b_{1}-1)!(c_{1}+b_{2}-1)!} \notag \end{align} となるため \begin{align} AF(-(S-1),-(n-1)\ /\ N-S-n+2;1) = \frac{(N-S-n+h)!(N-h)!}{(N-S-n)!N!} =\frac{(N-S-n+h)^{\underline{h}} }{N^{\underline{h}} } \notag \end{align} となる。$(N-S-n+h)^{\underline{h}}=(N-S-n+h)(N-S-n+h-1)\cdots(N-S-n+1)=(N-S-n+1)^{\overline{h}} $であることから \begin{align} \left. \frac{ \partial^{h} }{\partial t^{h} }G(t) \right|_{t=1} &= E[X^{\underline{h}}] \notag\\ &= \frac{S^{\underline{h}} n^{\underline{h}} }{(N-S-n+1)^{\overline{h}} } \frac{(N-S-n+h)^{\underline{h}} }{N^{\underline{h}} } \notag\\ &= n^{\underline{h}} \frac{S^{\underline{h}} }{N^{\underline{h}} } \notag \end{align} となる。
負の超幾何分布
$(k,l,m,n)=(1,1,0,1),\ u=1$のとき \[ f(x) = A \frac{ \prod_{j=1}^{1} a_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{1} b_{j}^{\underline{x}} }{ \prod_{j=1}^{0} c_{j}^{\overline{x}} \prod_{j=1}^{1} d_{j}^{\underline{x}} } \frac{1^{x}}{x!} = A\frac{ a_{1}^{\overline{x}} b_{1}^{\underline{x}} }{ d_{1}^{\underline{x}} } \frac{1}{x!} \] となる。負の超幾何分布の確率質量関数$\mathrm{NHG}(x) = \binom{x+s-1}{s-1} \binom{S+L-s-x}{S-s} / \binom{N}{L}$を \begin{align} \frac{ \binom{x+s-1}{s-1} \binom{S+L-s-x}{S-s} }{ \binom{N}{L} } = \frac{S!}{ N! \frac{(S-s)!}{(S+L-s)!} } \frac{ \frac{(x+s-1)!}{(s-1)! x!} \frac{L!}{(L-x)!} }{ \frac{(S+L-s)!}{(S+L-s-x)!} } = \frac{S!(S+L-s)!}{(S+L)! (S-s)!} \frac{s^{\overline{ x }} \frac{ L^{\underline{x}} }{x!} }{ (S+L-s)^{\underline{ x } } }\notag \end{align} と書き換える。先程の式で$a_{1}=s,\ b_{1}=L,\ d_{1}=S+L-s$とする。定数$A$は上の式を代入して負のヴァンデルモンドの式で書き換えると \[ A = \left\{ \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ s^{\overline{x} } \frac{ L^{\underline{x}} }{x!} }{ (S+L-s)^{\underline{x}} } \right\}^{-1} = \left\{ \left(\frac{S!(S+L-s)!}{(S+L)! (S-s)!}\right)^{-1} \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ \binom{x+s-1}{s-1} \binom{S+L-s-x}{S-s} }{ \binom{N}{L} } \right\}^{-1} = \frac{S!(S+L-s)!}{(S+L)! (S-s)!} \] となる。この結果から \[ \frac{1}{A}=F(s,-L\ /\ -(S+L-s)\ ;\ 1) =\sum_{x=0}^{\infty}\frac{s^{\overline{x}} L^{\underline{x}} }{ (S+L-s)^{\underline{x}} } \frac{1}{x!} = \frac{(S+L)! (S-s)!}{S!(S+L-s)!} \] と書け、$a_{1},b_{1},d_{1}$に戻すと公式 \begin{align} F(a_{1},-b_{1}\ /\ -d_{1}\ ;\ 1) =\sum_{x=0}^{\infty} \frac{a_{1}^{\overline{x}} b_{1}^{\underline{x}} }{ d_{1}^{\underline{x}} } \frac{1}{x!} = \frac {(d_{1}+a_{1})! (d_{1}-b_{1})!} {(d_{1}+a_{1}-b_{1})!d_{1}!} \end{align} を得る。$A$を代入すると負の超幾何分布 \[ f(x) = A \frac{ \frac{ a_{1}^{\overline{x}}}{x!} b_{1}^{\underline{x}} }{ d_{1}^{\underline{x}} } = \frac{S!(S+L-s)!}{(S+L)! (S-s)!} \frac{ L^{\underline{x}} s^{\overline{x}} }{ (S+L-s)^{\underline{x}} } \frac{1}{x!} \] となる。またこの結果から \[ f(x) = \frac{ \binom{S}{s} }{ \binom{S+L}{s} } \frac{ \binom{L}{x} \binom{s+x-1}{x} }{ \binom{S+L-s}{x} } \] と書ける。
確率母関数は \begin{align} G(t) &=E[t^{X}] \notag\\ &=\sum_{x=0}^{\infty} t^{x} f(x) \notag\\ &=\frac{ {}_{1,1}F_{0,1}(s,-L\ /\ -N+s\ ;\ t) }{ {}_{1,1}F_{0,1}(s,-L\ /\ -N+s\ ;\ 1) } \notag\\ &= \frac{S!(S+L-s)!}{(S+L)! (S-s)!} \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ s^{\overline{x}} L^{\underline{x}} }{ (S+L-s)^{\underline{x}} }t^{x} \notag\\ &= \frac{ \binom{S}{s} }{ \binom{S+L}{s} } \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ \binom{s+x-1}{x} \binom{L}{x} }{ \binom{S+L-s}{x} } t^{x} \notag \end{align} である。
$(k,l,m,n)=(1,1,0,1),\ u=1$のときの結果$a_{1}=s,\ b_{1}=L,\ d_{1}=S+L-s$を代入すると \begin{align} \left. \frac{ \partial }{\partial t }G(t) \right|_{t=1} &= E[X] \notag\\ &= \frac{c_{1} d_{1} }{ b_{1} } \frac{F(\overrightarrow{c}_{1}+\overrightarrow{1}_{1} -(\overrightarrow{d}_{1}-\overrightarrow{1}_{1})\ /\ -(\overrightarrow{b}_{1}-\overrightarrow{1}_{1}) ; (-1)^{1-1} 1) }{ F(\overrightarrow{c}_{1},-\overrightarrow{d}_{1}\ /\ -\overrightarrow{b}_{1} ;(-1)^{1-1}1)}1 \notag\\ &= \frac{ sL }{ S+L-s } A \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ (s+1)^{\overline{x}} (L-1)^{\underline{x}} }{ (S+L-s-1)^{\underline{x}} } \frac{1^{x}}{x!} \notag \end{align} となる。確率質量関数の計算過程で得た公式$F(a_{1},-b_{1}\ /\ -d_{1}\ ;\ 1) =\sum_{x=0}^{\infty} \frac{a_{1}^{\overline{x}} b_{1}^{\underline{x}} }{ d_{1}^{\underline{x}} } \frac{1}{x!} = \frac {(d_{1}+a_{1})! (d_{1}-b_{1})!} {(d_{1}+a_{1}-b_{1})!d_{1}!}$の係数を一つづつずらすと \begin{align} F(a_{1}+1,-(b_{1}-1)\ /\ -(d_{1}-1)\ ;\ 1) =\sum_{x=0}^{\infty} \frac{(a_{1}+1)^{\overline{x}} (b_{1}-1)^{\underline{x}} }{ (d_{1}-1)^{\underline{x}} } \frac{1}{x!} = \frac {(d_{1}+a_{1})! (d_{1}-b_{1})!} {(d_{1}+a_{1}-b_{1}+1)!(d_{1}-1)!} \notag \end{align} となるため$a_{1}=s,\ b_{1}=L,\ d_{1}=S+L-s$を代入すると \begin{align} F(s+1,-(L-1)\ /\ -(S+L-s-1)\ ;\ 1) &= \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ (s+1)^{\overline{x}} (L-1)^{\underline{x}} }{ (S+L-s-1)^{\underline{x}} } \frac{ 1^{x} }{ x! } &= \frac{(S+L)! (S-s)!} {(S+1)!(S+L-s-1)!} \notag \end{align} となる。そのため \[ A \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ (s+1)^{\overline{x}} (L-1)^{\underline{x}} }{ (S+L-s-1)^{\underline{x}} } \frac{1^{x}}{x!} = \left\{ \frac {(S+L)! (S-s)!} {S!(S+L-s)!} \right\}^{-1} \frac{(S+L)! (S-s)!} {(S+1)!(S+L-s-1)!} = \frac{S+L-s}{S+1} \] である。故に \begin{align} \left. \frac{ \partial }{\partial t }G(t) \right|_{t=1} &= E[X] \notag\\ &= \frac{ sL }{ S+L-s } A \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ (s+1)^{\overline{x}} (L-1)^{\underline{x}} }{ (S+L-s-1)^{\underline{x}} } \frac{1^{x}}{x!} \notag\\ &= \frac{ sL }{ S+L-s } \frac{S+L-s}{S+1} \notag\\ &= s\frac{L}{S+1} \notag \end{align} となる。
$h$階微分を求める。公式$F(a_{1},-b_{1}\ /\ -d_{1}\ ;\ 1) =\sum_{x=0}^{\infty} \frac{a_{1}^{\overline{x}} b_{1}^{\underline{x}} }{ d_{1}^{\underline{x}} } \frac{1}{x!} = \frac {(d_{1}+a_{1})! (d_{1}-b_{1})!} {(d_{1}+a_{1}-b_{1})!d_{1}!}$の係数を$h$づつずらすと \begin{align} F(a_{1}+h,-(b_{1}-h)\ /\ -(d_{1}-h)\ ;\ 1) = \sum_{x=0}^{\infty} \frac{(a_{1}+h)^{\overline{x}} (b_{1}-h)^{\underline{x}} }{ (d_{1}-h)^{\underline{x}} } \frac{1}{x!} = \frac {(d_{1}+a_{1})! (d_{1}-b_{1})!} {(d_{1}+a_{1}-b_{1}+h)!(d_{1}-h)!} \notag \end{align} となるため$a_{1}=s,\ b_{1}=L,\ d_{1}=S+L-s$を代入すると \[ A \sum_{x=0}^{\infty} \frac{ (s+h)^{\overline{x}} (L-h)^{\underline{x}} }{ (S+L-s-h)^{\underline{x}} } \frac{1^{x}}{x!} = \left\{ \frac {(S+L)! (S-s)!} {S!(S+L-s)!} \right\}^{-1} \frac{(S+L)! (S-s)!} {(S+h)!(S+L-s-h)!} = \frac{(S+L-s)^{\underline{h}}}{(S+1)^{\overline{h}}} \] となる。故に \begin{align} \left. \frac{ \partial^{h} }{\partial t^{h} }G(t) \right|_{t=1} &= E[X^{\underline{h}}] \notag\\ &= \frac{s^{\overline{h}} L^{\underline{h}} }{(S+L-s)^{\underline{h}} } \frac{(S+L-s)^{\underline{h}}}{(S+1)^{\overline{h}}} \notag\\ &= s^{\overline{h}} \frac{ L^{\underline{h}} }{(S+1)^{\overline{h}}} \notag \end{align} となる。