二項係数の公式として \[ \binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1} \] がある。これは計算することで示せる。 \begin{align} \text{右辺} &= \frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} \notag\\ &= \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} \left\{ \frac{1}{k}+\frac{1}{n-k+1} \right\} \notag\\ &= \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} \frac{n+1}{k(n-k+1)} \notag\\ &= \frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!} \notag\\ &= \binom{n+1}{k} \notag\\ &= \text{左辺}. \notag \end{align}

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urlの末尾はpascal_ruleとしました。pascal's_ruleとするべきだとは思いますが、運用上の都合によりアッポストロフィーは使用しません。そのため'sは省略しました。