負の二項展開 \[ (1-z)^{-n} =\sum_{i=0}^{\infty} \binom{n+i-1}{i} z^{i} \] の$z$に$z_{1}+\cdots+z_{K}$を代入する。 \[ \Big(1-(z_{1}+\cdots+z_{K})\Big)^{-n} =\sum_{i=0}^{\infty} \binom{n+i-1}{i} \Big(z_{1}+\cdots+z_{K}\Big)^{i} \] 右辺の$z_{1}+\cdots+z_{K}$の冪乗は多項定理より \[ \Big(z_{1}+\cdots+z_{K}\Big)^{i} = \sum_{m_{1}+\cdots+m_{K}=i} \binom{i}{m_{1},\ldots,m_{K}} \prod_{j=1}^{K} z_{j}^{m_{j}} \] となるため \[ \Big(1-(z_{1}+\cdots+z_{K})\Big)^{-n} = \sum_{i=0}^{\infty} \sum_{m_{1}+\cdots+m_{K}=i} \binom{n+i-1}{i} \binom{i}{m_{1},\ldots,m_{K}} \prod_{j=1}^{K} z_{j}^{m_{j}} \] となる。この総和は内側で$i$となる$m$の組を求め、それを外側で$i=0$から無限まで足し合わせる。これはそれぞれで無限和を取るのと等しい。そのため \[ \Big(1-(z_{1}+\cdots+z_{K})\Big)^{-n} = \sum_{m_{1}=0}^{\infty} \sum_{m_{2}=0}^{\infty} \cdots \sum_{m_{K}=0}^{\infty} \binom{n+i-1}{i} \binom{i}{m_{1},\ldots,m_{K}} \prod_{j=1}^{K} z_{j}^{m_{j}} \] となり、$i=m_{1}+\cdots+m_{K}$より \[ \binom{n+i-1}{i} \binom{i}{m_{1},\ldots,m_{K}} = \frac{(n+i-1)!}{i!(n-1)!} \frac{i!}{m_{1}!\cdots m_{K}!} = \binom{n-1+i}{n-1,m_{1},\ldots m_{K}} = \binom{n-1+m_{1}+\cdots+m_{K}}{n-1,m_{1},\ldots m_{K}} \] と書ける。故に \[ \Big(1-(z_{1}+\cdots+z_{K})\Big)^{-n} = \sum_{m_{1}=0}^{\infty} \sum_{m_{2}=0}^{\infty} \cdots \sum_{m_{K}=0}^{\infty} \binom{n-1+m_{1}+\cdots+m_{K}}{n-1,m_{1},\ldots m_{K}} \prod_{j=1}^{K} z_{j}^{m_{j}} \] となる。これを負の多項展開と呼ぶ。