前節の二項展開で$x=1$とすると \[ (1+y)^{n}=\sum_{k=0}^{\infty} \binom{n}{k} y^{k} \] となる。この$n$に$-n$を入力すると \[ (1+y)^{-n}=\sum_{k=0}^{\infty} \binom{-n}{k} y^{k} \] となる。この二項係数は \begin{align} \binom{-n}{k} &=\frac{(-n)(-n-1)\cdots(-n-k+1)}{k!} \notag\\ &=(-1)^{(n+k-1)-n+1}\frac{n(n+1)\cdots(n+k-1)}{k!} \notag\\ &=(-1)^k \binom{n+k-1}{k} \notag \end{align} と書き換えられる。故に \[ (1+y)^{-n}=\sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k-1}{k} (-y)^{k} \] とも書ける。これが負の二項展開である。更に$z=-y$とおくと \[ (1-z)^{-n}=\sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k-1}{k} z^{k} \] となる。上昇階乗記号、下降階乗記号を用いると \[ (1-z)^{-n} =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(n+k-1)^{\underline{k}}}{k!} z^{k} =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{n^{\overline{k}}}{k!} z^{k} \] となる。