多項係数を \[ \binom{n}{k_{1},k_{2},\ldots,k_{K}} := \frac{n^{\underline{k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{K}}} }{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{K}!} ,\ \ \ (n=k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{K}) \] と定義する。 多項定理とは和の冪乗が次のように展開できることを示す定理である。 \[ \left( p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{K} \right)^{n} =\sum_{k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{K}=n} \binom{n}{k_{1},k_{2},\ldots,k_{K}} p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{K}^{k_{K}} \] 数学的帰納法で証明する。$K=2$は二項定理であり、上記の節で示した。$K=m-1$で成立すると仮定する。$K=m$のときを展開する。$p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{m-1}$と$p_{m}$との二項からなると見做し、二項展開をする。 \[ \left\{ \left(p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{m-1} \right) +p_{m} \right\}^{n} = \sum_{k_{m}=0}^{n} \binom{n}{k_{m}} \left(p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{m-1}\right)^{n-k_{m}} p_{m}^{k_{m}} \] この右辺の括弧の中は仮定より多項定理で展開できる。 \[ \left( p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{m-1} \right)^{n-k_{m}} =\sum_{k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{m-1}=n-k_{m}} \binom{n-k_{m}}{k_{1},k_{2},\ldots,k_{m-1}} p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{m-1}^{k_{m-1}} \] これを代入すると \[ \left\{ \left(p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{m-1} \right) +p_{m} \right\}^{n} = \sum_{k_{m}=0}^{n} \binom{n}{k_{m}} \left( \sum_{k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{m-1}=n-k_{m}} \binom{n-k_{m}}{k_{1},k_{2},\ldots,k_{m-1}} p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{m-1}^{k_{m-1}} \right) p_{m}^{k_{m}} \] となる。外側の総和を取ると \begin{align} \text{右辺} &= \sum_{k_{m}=0}^{n} \binom{n}{k_{m}} \left( \sum_{k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{m-1}=n-k_{m}} \binom{n-k_{m}}{k_{1},k_{2},\ldots,k_{m-1}} p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{m-1}^{k_{m-1}} \right) p_{m}^{k_{m}}\notag\\ &= \sum_{k_{m}=0}^{n} \binom{n}{k_{m}} \left( \sum_{k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{m-1}+k_{m}=n} \binom{n-k_{m}}{k_{1},k_{2},\ldots,k_{m-1}} p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{m-1}^{k_{m-1}} \right) p_{m}^{k_{m}}\notag\\ &= \binom{n}{0} \left( \sum_{k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{m-1}+0=n} \binom{n}{k_{1},k_{2},\ldots,k_{m-1}} p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{m-1}^{k_{m-1}} \right) p_{m}^{0}\notag\\ &+ \binom{n}{1} \left( \sum_{k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{m-1}+1=n} \binom{n-1}{k_{1},k_{2},\ldots,k_{m-1}} p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{m-1}^{k_{m-1}} \right) p_{m}^{1}\notag\\ &+\cdots\notag\\ &+ \binom{n}{n} \left( \sum_{k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{m-1}+k_{m}=n} \binom{0}{k_{1},k_{2},\ldots,k_{m-1}} p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{m-1}^{k_{m-1}} \right) p_{m}^{n}\notag\\ &= \sum_{k_{m}=0}^{n} \binom{n}{k_{m}} \left( \sum_{k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{m-1}+k_{m}=n} \binom{n-k_{m}}{k_{1},k_{2},\ldots,k_{m-1}} p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{m-1}^{k_{m-1}} \right) p_{m}^{k_{m}}\notag\\ &= \sum_{k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{m-1}+0=n}\binom{n}{0} \binom{n}{k_{1},k_{2},\ldots,k_{m-1}} p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{m-1}^{k_{m-1}} p_{m}^{0}\notag\\ &+ \sum_{k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{m-1}+1=n} \binom{n}{1} \binom{n-1}{k_{1},k_{2},\ldots,k_{m-1}} p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{m-1}^{k_{m-1}} p_{m}^{1}\notag\\ &+\cdots\notag\\ &+ \sum_{k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{m-1}+k_{m}=n} \binom{n}{n} \binom{0}{k_{1},k_{2},\ldots,k_{m-1}} p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{m-1}^{k_{m-1}}p_{m}^{n}\notag\\ &= \sum_{k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{m-1}+k_{m}=n}\binom{n}{k_{m}} \binom{n-k_{m}}{k_{1},k_{2},\ldots,k_{m-1}} p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{m-1}^{k_{m-1}} p_{m}^{k_{m}}\notag\\ &= \sum_{k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{m-1}+k_{m}=n} \frac{n!}{k_{m}!(n-k_{m})!} \frac{(n-k_{m})!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m-1}!} p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{m-1}^{k_{m-1}} p_{m}^{k_{m}}\notag\\ &= \sum_{k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{m-1}+k_{m}=n} \binom{n}{k_{1}, k_{2}, \ldots ,k_{m-1}, k_{m}} p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{m-1}^{k_{m-1}} p_{m}^{k_{m}}\notag \end{align} となる。$K=m$でも成立することが確かめられた。そのため任意の$K$で成り立つ。