パスカルの法則は多変数に拡張できる。これは定義関数$\mathrm{I}$を用いて \[ \binom{n+1}{k_{1},\ \ldots,\ k_{l}} = \sum_{i=1}^{l} \binom{n}{ k_{1}-\mathrm{I}_{\{1\}}(i),\ldots,k_{l}-\mathrm{I}_{\{l\}}(i)} \] と書ける。但し$\sum_{i=1}^{l} k_{i}=n+1$とする。総和は$i=1$の値が \begin{align} \binom{n}{ k_{1}-\mathrm{I}_{\{1\}}(1),\ldots,k_{l}-\mathrm{I}_{\{l\}}(1)} &= \binom{n}{ k_{1}-1,\ldots,k_{l}-0} \notag\\ &= \frac{n!}{(k_{1}-1)!\cdots k_{l}!} \frac{ k_{1} }{ k_{1} } \notag\\ &= \frac{n!}{k_{1}!\cdots k_{l}!}k_{1} \notag \end{align} となることから \begin{align} \text{右辺} &= \frac{n!}{k_{1}!\cdots k_{l}!} \sum_{i=1}^{l} k_{i} \notag\\ &= \frac{n!}{k_{1}!\cdots k_{l}!} (n+1) \notag\\ &= \binom{n+1}{k_{1},\ \ldots,\ k_{l}} \notag\\ &= \text{左辺} \notag \end{align} となる。

これは$l=2$のとき \[ \binom{n+1}{k_{1},k_{2}}=\binom{n}{k_{1}-1,k_{2}}+\binom{n}{k_{1},k_{2}-1} \] となる。条件$\sum_{i=1}^{2}k_{i}=n+1$より$k_{2}=n+1-k_{1}$と書ける。この式から$k_{1}=k$のとき$k_{2}=n+1-k$と書ける。そのため \begin{align} \frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!} &= \frac{n!}{(k-1)!(n+1-k)!} + \frac{n!}{k!(n-k)!}\notag\\ \binom{n+1}{k} &= \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} \notag \end{align} となる。これは上節のパスカルの法則である。