次の関係式が成り立つ。 \[ \binom{n+1}{k+1}=\sum_{i=k}^{n} \binom{i}{k} \] この証明はパスカルの法則を繰り返し使う。 \begin{align} \binom{n+1}{k+1} &=\binom{n}{k+1}+\binom{n}{k} \notag\\ &=\binom{n-1}{k+1}+\binom{n-1}{k}+\binom{n}{k} \notag\\ &\ \ \vdots \notag\\ &=\binom{k+1}{k+1}+\binom{k+1}{k}+\cdots+\binom{n-1}{k}+\binom{n}{k} \notag\\ &=\binom{k}{k+1}+\binom{k}{k}+\binom{k+1}{k}+\cdots+\binom{n-1}{k}+\binom{n}{k} \notag\\ &=\sum_{i=k}^{n} \binom{i}{k}. \notag \end{align}

視覚的な説明は こちら が参考になる。パスカル三角形を斜めに足すとアイスホッケーの公式になり、横に二つ足すとパスカルの法則になり、横に全て足し合わせると二の累乗になる。