次の積分を考える。 \[ \int_{0}^{\infty} x^{n} \exp(-x) \mathrm{d}x \] これを部分積分をすることで \[ \int_{0}^{\infty} x^{n} \exp(-x) \mathrm{d}x = n \int_{0}^{\infty} x^{n-1} \exp(-x) \mathrm{d}x \] となり、これを繰り返すことで \[ \int_{0}^{\infty} x^{n} \exp(-x) \mathrm{d}x= n(n-1)(n-2)\cdots1\int_{0}^{\infty} x^{0} \exp(-x) \mathrm{d}x \] となる。右辺の積分値は一であるため階乗の積分表示と言える。 \[ n!=\int_{0}^{\infty} x^{n} \exp(-x) \mathrm{d}x \] ここまで$n$はどのような数かは定義してこなかったが、このような関係は実部が正の複素数でも成り立ち、階乗の一般化としてガンマ関数 \[ \Gamma(z):=\int_{0}^{\infty} x^{z-1} \exp(-x) \mathrm{d}x \] が定義されるが階乗とは引数が一つずれている。つまり \[ n!=\Gamma(n+1) \] である。$n$が整数であれば直感的にも成立が予想できる。一方で$n=0$のとき \[ 0!=\Gamma(0+1)=\int_{0}^{\infty} x^{(0+1)-1} \exp(-x) \mathrm{d}x \] となり、この積分を計算すると一となるため直感的には受け入れがたいが \[ 0!=\Gamma(1)=1 \] である。続いて$n=-1$のとき \[ (-1)!=\Gamma(-1+1)=\int_{0}^{\infty} x^{(-1+1)-1} \exp(-x) \mathrm{d}x \] となる。この積分は \begin{align} \text{右辺} &=\int_{0}^{\infty} x^{-1} \exp(-x) \mathrm{d}x \notag\\ &= \left[-x^{-1} \exp(-x)\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} x^{-2} \exp(-x) \mathrm{d}x \notag\\ &= \infty \notag \end{align} となる。そのため階乗の定義域は非負の整数で成立する。またガンマ関数の定義域は実部が正の複素数であるが、この説明は本筋から外れるため割愛する。