二数の和の累乗を展開したとき \[ (x+y)^{n} =\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k}y^{k} \] と係数が二項係数で表される。これは数学的帰納法で証明される。 （参考Wikipedia二項定理） $n=0$のとき \begin{align} (x+y)^{0} &=\sum_{k=0}^{0} \binom{1}{0} x^{1-0}y^{0} \notag\\ &=1 \notag \end{align} となり成立する。$n=m$で成立するのであれば$n=m+1$のとき \begin{align} (x+y)^{m+1} &=(x+y)(x+y)^{m} \notag\\ &=(x+y) \sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} x^{m-k}y^{k} \notag\\ &=\sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} x^{m-k+1}y^{k}+\sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} x^{m-k}y^{k+1} \notag \end{align} となる。 \[ \binom{m}{m+1}=0 \] であることを用いて第一項を \[ \sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} x^{m-k+1}y^{k}+0 =\sum_{k=0}^{m+1} \binom{m}{k} x^{m-k+1}y^{k} \] と書き換える。同様に$\binom{m}{-1}=0$より第二項の引数を書き換えると \[ 0+\sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} x^{m-k}y^{k+1} =\sum_{k=-1}^{m} \binom{m}{k} x^{m-k}y^{k+1} \] となり、$l:=k+1$とおくと \[ \sum_{k=-1}^{m} \binom{m}{k} x^{m-k}y^{k+1} = \sum_{l=0}^{m+1} \binom{m}{l-1} x^{m+1-l}y^{l} \] となる。この添え字そのものには重要な意味が無いため$l$を$k$に変えてもよい。そうすると第二項は \[ \sum_{l=0}^{m+1} \binom{m}{k-1} x^{m+1-k}y^{k} \] となる。二つの項の書き換えから \begin{align} (x+y)^{m+1} &= \sum_{k=0}^{m+1} \binom{m}{k} x^{m-k+1}y^{k}+\sum_{l=0}^{m+1} \binom{m}{k-1} x^{m+1-k}y^{k} \notag\\ &= \sum_{l=0}^{m+1} \left\{ \binom{m}{k}+ \binom{m}{k-1} \right\} x^{m+1-k}y^{k}　\notag\\ &= \sum_{l=0}^{m+1} \left\{ \frac{m!}{k!(m-k)!}+ \frac{m!}{(k-1)!(m-k+1)!} \right\} x^{m+1-k}y^{k}　\notag\\ &= \sum_{l=0}^{m+1} \frac{m!}{(k-1)!(m-k)!} \left\{ \frac{1}{k}+ \frac{1}{m-k+1} \right\} x^{m+1-k}y^{k}　\notag\\ &= \sum_{l=0}^{m+1} \binom{m+1}{k} x^{m+1-k}y^{k} \notag \end{align} となる。このことから$n=m$で成立すれば$n=m+1$でも成立する。すでに初項でも成立することが確かめられているため一般に成り立つといえる。

上記の証明のとき$\binom{m}{m+1}=0$を利用した。同じように$n<k$において \[ \binom{n}{k}=0 \] が成り立つため \begin{align} (x+y)^{n} &=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k}y^{k} \notag\\ &=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k}y^{k}+0+0+\cdots \notag\\ &=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k}y^{k}+ \binom{n}{n+1} x^{-1}y^{n+1} \binom{n}{n+2} x^{-2}y^{n+2}+\cdots \notag\\ &=\sum_{k=0}^{\infty} \binom{n}{k} x^{n-k}y^{k}\notag \end{align} とも書ける。

他にも上昇階乗記号、下降階乗記号を用いて \[ (x+y)^{n} =\sum_{k=0}^{n} \frac{(n+k-1)^{\underline{k}}}{k!} x^{n-k}y^{k} =\sum_{k=0}^{n} \frac{n^{\overline{k}}}{k!} x^{n-k}y^{k} \] と表せる。