二項係数は多くの場合 \[ {}_{a} \mathrm{C}_{b} :=\frac{a!}{b!(a-b)!} \] と定義される。この定義域は$a \ge b \ge0$の整数である。敢えて定義域外の数値を入力すると \[ {}_{4} \mathrm{C}_{5} =\frac{4!}{5!(-1)!} \] となる。しかし上の節の計算結果$(-1)!=\infty$より分母に無限が現れる。極限を回避しつつ定義域を拡張するため一般化二項係数を定義する。 \[ \binom{a}{b}:= \frac{a(a-1)\cdots(a-b+1)}{b!}. \] これは下降階乗記号$a^{\underline{b}}:=a(a-1)\cdots(a-b+2)(a-b+1)$をもちいて \[ \binom{a}{b}=\frac{a^{\underline{b}}}{b!} \] とも表される。他にも上昇階乗記号 $(a-b+1)^{\overline{b}}=(a-b+1)(a-b+2)\cdots(a-1)a$を用いて \[ \binom{a}{b}=\frac{(a-b+1)^{\overline{b}}}{b!} \] とも表せる。この場合では先程の例は \[ \binom{4}{5}=\frac{4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot0}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=0 \] となり無限が現れることなく零となる。