ヴァンデルモンドの畳み込みと呼ばれるものは二種類ある。一つは \[ \binom{n+m}{k} = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} \binom{m}{k-i} \] である。これには証明はいくつかの方法があり、ここではパスカルの法則を用いる。左辺を式変形すると \begin{align} \binom{n+m}{k} &= \binom{n+m-1}{k} + \binom{n+m-1}{k-1} \notag\\ &= \binom{n+m-2}{k}+\binom{n+m-2}{k-1}+\binom{n+m-2}{k-1}+\binom{n+m-2}{k-2} \notag \end{align} ここまでの結果は \begin{align} \binom{n+m}{k} &= \binom{1}{0}\binom{n+m-1}{k} + \binom{1}{1}\binom{n+m-1}{k-1} \notag\\ &= \binom{2}{0}\binom{n+m-2}{k}+\binom{2}{1}\binom{n+m-2}{k-1}+\binom{2}{2}\binom{n+m-2}{k-2} \notag \end{align} と書き換えられ、更に総和記号を用いて \begin{align} \binom{n+m}{k} &= \sum_{i=0}^{1}\binom{1}{i}\binom{n+m-1}{k-i} \notag\\ &= \sum_{i=0}^{2}\binom{2}{i}\binom{n+m-2}{k-i} \notag \end{align} と書ける。これは \[ \binom{n+m}{k} = \sum_{i=0}^{l}\binom{l}{i}\binom{n+m-l}{k-i} \] と予想できる。数学的帰納法で確かめる。$l=1,2$のときは既に調べた。$l=u$のとき成り立つとして、$l=u+1$のとき \begin{align} \binom{n+m}{k} &= \sum_{i=0}^{v}\binom{v}{i}\binom{n+m-v}{k-i} \notag\\ &= \binom{v}{0}\binom{n+m-v}{k-0}+\binom{v}{1}\binom{n+m-v}{k-1}+\cdots+\binom{v}{v}\binom{n+m-v}{k-v} \notag\\ &= \binom{v}{0} \left\{\binom{n+m-v-1}{k}+ \binom{n+m-v-1}{k-1} \right\}+ \binom{v}{1} \left\{\binom{n+m-v-1}{k-1}+\binom{n+m-v-1}{k-2} \right\}+\cdots \notag\\ &+\binom{v}{v} \left\{ \binom{n+m-v-1}{k-v} + \binom{n+m-v-1}{k-v-1} \right\} \notag\\ &= \binom{v}{0} \binom{n+m-v-1}{k}+ \left\{\binom{v}{0}+\binom{v}{1}\right\}\binom{n+m-v-1}{k-1}+\cdots \notag\\ &+\left\{\binom{v}{v-1}+\binom{v}{v}\right\}\binom{n+m-v-1}{k-v} +\binom{v}{v}\binom{n+m-v-1}{k-v-1} \notag\\ &= \binom{v+1}{0} \binom{n+m-v-1}{k}+ \binom{v+1}{1}\binom{n+m-v-1}{k-1}+\cdots \notag\\ &+ \binom{v+1}{v}\binom{n+m-v-1}{k-v} +\binom{v+1}{v+1}\binom{n+m-v-1}{k-v-1} \notag\\ &= \sum_{i=0}^{v+1}\binom{v+1}{i}\binom{n+m-v-1}{k-i} \notag \end{align} となる。よって任意の整数で成り立つ。この式で$l=n$とすると \[ \binom{n+m}{k}= \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\binom{m}{k-i} \] となる。また$l=m$とすると \[ \binom{n+m}{k}= \sum_{i=0}^{m}\binom{m}{i}\binom{n}{k-i} \] となる。

もう一つのヴァンデルモンドの畳み込みは \[ \binom{g+1}{b+d+1} = \sum_{h=0}^{g} \binom{g-h}{b} \binom{h}{d} \] である。こちらも数学的帰納法とパスカルの法則を用いて証明する。$g=0$のとき両辺はともに一になる。$g=i$で \[ \binom{i+1}{b+d+1} = \sum_{h=0}^{i} \binom{i-h}{b} \binom{h}{d} \] が成立すると仮定する。 $g=i+1$の場合 \[ \binom{i+2}{b+d+1} = \sum_{h=0}^{i+1} \binom{i+1-h}{b} \binom{h}{d} \] の右辺を書き換え左辺になること示す。 \begin{align} \text{右辺} &= \sum_{h=0}^{i+1} \Bigg\{ \binom{i-h}{b} +\binom{i-h}{b-1} \Bigg\} \binom{h}{d} \notag\\ &= \sum_{h=0}^{i+1} \binom{i-h}{b} \binom{h}{d} + \sum_{h=0}^{i+1} \binom{i-h}{b-1} \binom{h}{d} \notag\\ &= \sum_{h=0}^{i} \binom{i-h}{b} \binom{h}{d} + \sum_{h=0}^{i} \binom{i-h}{b-1} \binom{h}{d} \notag \end{align} 仮定よりこの式は \[ \text{右辺}=\binom{i+1}{b+d+1}+\binom{i+1}{b-1+d+1} \] となる。更にパスカルの法則から \[ \text{右辺}=\binom{i+2}{b+d+1} \] となる。よって左辺が導かれた。以上より任意の整数で成り立つ。